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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Grad von [mm] [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] [/mm] mit [mm] \alpha=\sqrt{3}+\sqrt{5}. [/mm] |
Liebe Forenmitglieder,
da ich bisher nur kompetente Ratschläge in diesem Forum erhalten habe, wende ich mich mit meinem nächsten Problem an euch.
Um die Aufgabe zu lösen, suche ich das kleinste n, so dass [mm] [1,\alpha,\alpha^{2},\dots,\alpha^{n}] [/mm] linear abhängig sind und das ist dann mein Grad. Ich behaupte, dass der Grad 4 ist und möchte daher zeigen, dass [mm] [1,\alpha,\alpha^{2},\alpha^{3}] [/mm] noch [mm] $\mathbb{Q}$-linear [/mm] unabhängig ist.
Dafür setze ich an: Sei [mm] $a\alpha^{3}+b\alpha^{2}+c\alpha+d=0$ [/mm] mit [mm] $a,b,c,d\in\mathbb{Q}$ [/mm] und wenn ich die Alphas ausrechne, komme ich auf
[mm] $\sqrt{5}(14a+c)+\sqrt{3}(18a+c)+\sqrt{15}b+8b+d=0$.
[/mm]
Nur wie kann ich daraus schließen, dass $a,b,c,d$ schon $0$ sein müssen?
Jeder einzelne Summand muss entweder 0 oder irrational sein, aber wie kann ich formal nachweisen, dass die Ausdrücke 14a+c, 18a+c, b und 8b+d alle 0 sind?
Vielen Dank für eure Hilfe,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Sax |
Hi,
Aus [mm] p\wurzel{3} [/mm] + [mm] q\wurzel{5} [/mm] + [mm] r\wurzel{15} [/mm] + s = 0
folgt zunächst [mm] p\wurzel{3} [/mm] + [mm] q\wurzel{5} [/mm] = [mm] -(r\wurzel{15} [/mm] + s)
und durch Quadrieren weiter
[mm] 3p^2 [/mm] + [mm] 2pq\wurzel{15} [/mm] + [mm] 5q^2 [/mm] = [mm] 15r^2 [/mm] + [mm] 2rs\wurzel{15} [/mm] + [mm] s^2
[/mm]
Wegen der Irrationalität von [mm] \wurzel{15} [/mm] ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
pq = rs und
[mm] 3p^2 [/mm] + [mm] 5q^2 [/mm] = [mm] 15r^2 [/mm] + [mm] s^2
[/mm]
Auflösen der ersten Gleichung nach s, Einsetzen in die zweite Gleichung und Multiplikation mit [mm] r^2 [/mm] liefert
[mm] 3p^2r^2 [/mm] + [mm] 5q^2r^2 [/mm] = [mm] 15r^4 [/mm] + [mm] p^2q^2.
[/mm]
Das lässt sich umformen zu
[mm] (p^2 [/mm] - [mm] 5r^2) (3r^2 [/mm] - [mm] q^2) [/mm] = 0
und beweist somit deine Behauptung.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Fr 21.12.2012 | | Autor: | ehjcuioe34 |
Danke!
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