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Gleichung mit ganzen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Mo 18.04.2022
Autor: Spica

Aufgabe
Gegeben ist:
2a/(2+a) = 3b/(3+b) = 4c/(4+c)

Es sollen alle positiven ganzen Zahlen bestimmt werden, für die obige Gleichungen gelten.
Ich komme zu dem Schluss, dass nur wenn a gegen unendlich geht, dann b gegen Grenzwert 6 und c gegen Grenzwert 4 geht.
Seht ihr das auch so?

        
Bezug
Gleichung mit ganzen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Mo 18.04.2022
Autor: Fulla

Hallo Spica!

> Gegeben ist:
> 2a/(2+a) = 3b/(3+b) = 4c/(4+c)
> Es sollen alle positiven ganzen Zahlen bestimmt werden,
> für die obige Gleichungen gelten.
> Ich komme zu dem Schluss, dass nur wenn a gegen unendlich
> geht, dann b gegen Grenzwert 6 und c gegen Grenzwert 4
> geht.
> Seht ihr das auch so?

Nein.
Zum einen ist "a gegen unendlich" keine positive ganze Zahl, und zum anderen sind Grenzwerte hier überhaupt nicht gefragt.

Offenbar hast du versucht, ganzzahlige Werte für die drei Terme zu finden. Das verlangt die Aufgabe aber nicht (und das ist auch gar nicht möglich).

Setze mal für [mm]b[/mm] und [mm]c[/mm] ein paar ganze Zahlen ein und schau, ob es Kombinationen gibt, die dasselbe Ergebnis liefern.
(Tipp: Ergebnisse [mm]\ge 2[/mm] kannst du ignorieren, weil du diese Werten mit dem [mm]a[/mm]-Term nicht erreichen kannst.)
Danach musst du noch prüfen, ob es auch ein [mm]a[/mm] gibt, mit dem du ebenfalls dieses Ergebnis herausbekommst.

Das klingt auf den ersten Blick nach "rumprobieren", aber eine vollständige Liste aller Werte mit [mm]\frac{2a}{2+a}, \frac{3b}{3+b}, \frac{4c}{4+c}<2[/mm] zusammen mit einem Argument, dass [mm]\frac{2a}{2+a}\le 2[/mm] für alle [mm]a\in\mathbb N[/mm] ist, ist tatsächlich genug, um zu zeigen, dass du "alle" gesuchten Kombinationen gefunden hast.

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
                
Bezug
Gleichung mit ganzen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 Mo 18.04.2022
Autor: Spica

Danke, Fulla,
ich habe mich wohl unglücklich ausgedrückt, denn ich wollte eigentlich in meinem Post zum Ausdruck bringen, dass es keine Lösung gibt, wo a, b, c ganze positive Zahlen sind und die 3 Terme das selbe Ergebnis liefern.
Bei b=4 und c=3 erhalte ich 12/7, aber dafür gibt es kein ganzes a.
Bei b=6 und c=4 erhalte ich 2, aber da gibt es eben auch kein a.
Viele Grüße, Spica


Bezug
                        
Bezug
Gleichung mit ganzen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:47 Di 19.04.2022
Autor: Fulla

Hallo Spica,

und was ist mit $a=12$, $b=4$, $c=3$?

Wenn die Termwerte auch ganzzahlig sein sollen, hast du recht, dann gibt es keine Lösung. ($a=b=c=0$ ist ja durch "positive ganze Zahlen" ausgeschlossen.)

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
                                
Bezug
Gleichung mit ganzen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:37 Di 19.04.2022
Autor: Spica

Hallo Fulla,

peinlich, peinlich, du hast ganz recht, a=12 habe ich übersehen. Und es ging nur um ganze positive Werte für a,b,c. Der Wert der Terme darf gebrochen rational sein.
Liebe Grüße und danke fürs Abmontieren des Brettes vorm Kopf :-)
Spica

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