Flächeninhalt einer Figur < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Di 06.11.2007 | | Autor: | DaPhil |
| Aufgabe | Berechne den Inhalt der Figur, die durch folgende Kurve begrenzt wird:
[mm] (x^2+y^2)^2 [/mm] = [mm] 2ax^3 [/mm] |
Hier weiß ich leider nicht mal wie diese Figur aussehen soll, ich kann mir also nicht mal überlegen obs da Symmetrien gibt, die mir die Integration vereinfachen.
Wegen [mm] (x^2+y^2) [/mm] wäre es wohl sinnvoll, Polarkoordinaten zu nehmen, allerdings hilft mir das auch nicht viel weiter...
Könnte mir hier auch jemand einen Tipp geben? Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. das Ding ist sym zur x-Achse, [mm] (y^2) [/mm] es sieht aus wie ein Ei mit Spitze bei 0.
2. die Nullstellen sind leicht zu rechnen.
3, ich denk auch Polarkoordinaten sind einfacher.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:04 Mi 07.11.2007 | | Autor: | DaPhil |
Habe folgendes versucht: Benutze Polarkoordinaten, dann ist die Jakobideterminante = r. Die Gleichung aus der Aufgabenstellung umformen zu r = 2 a [mm] cos(\phi)^{3}. [/mm] Daraus die Grenzen für r: 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2 a [mm] |cos(\phi)|^{3}. [/mm] Erste Nullstelle für die Grenze von [mm] \phi: [/mm] 0 = 2 a [mm] cos(\phi)^{3} \Rightarrow \phi [/mm] = [mm] \pi [/mm] / 2 . Da aber x-Achsen symmetrisch, brauche ich das Integral in diesen Grenzen zweimal. Also:
A = 2 [mm] \* \integral_{\pi/2}^{0}{\integral_{0}^{2 a cos(\phi)^{3}} r dr d\phi} [/mm] = [mm] \integral_{\pi/2}^{0}{4a^2(cos(\phi))^6}
[/mm]
Aber löse ich die zweite Intgration kommt null raus. Wo ist denn mein Fehler?
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Wie kann bei einem Integral Null herauskommen, wenn über einen Wert integriert wird der stets [mm] \ge0 [/mm] und nicht nur auf einer Nullmenge >0 ist (und das Intervall ist ja nun auch >0)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 09.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Mit der Figur im Blick, kann man natürlich auch einfach die ursprüngliche Gleichung nach y auflösen und das Resultat über [0, 2a] integrieren, um die obere Hälfte des eingeschlossenen Bereichs zu erhalten.
[mm]\integral_{0}^{2a}{\wurzel{-x^2 + \wurzel{2ax^3}} dx}[/mm]
Nicht schön, sollte aber lösbar sein (hab jetzt keinen Bronstein zur Hand...).
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