Exponential Dar. Kompl. Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die komplexen Zahlen [mm] z_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{ \wurzel{3}} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] = -5 + 5j .
(1) Geben Sie die Exponential-Darstellung von [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] an.
(2) Bestimmen Sie [mm] z_{1} [/mm] * [mm] z_{2} [/mm] und [mm] \bruch{z_{1}}{z_{2}} [/mm] in Exponential-Darstellung.
(3) Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm] z^{3} [/mm] + 8 = 0 |
Tach!
Ich hoffe meine 3 Teilaufgaben werden richtig dargestellt. Mein Problem ist einfach der Umgang mit den komplexen Zahlen als solches bzw. vor allem wie ich sie in die Exponential-Darstellung bekomme.
Danke im vorraus für Tipps, Lösungsvorschläge etc.
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Wuschelblubb!
Lautet Deine Zahl [mm] $z_1$ [/mm] wirklich [mm] $z_{1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-2}{ \wurzel{3}}$ [/mm] , also ohne imaginäre Einheit $i_$ ?
In die Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl $z \ = \ a+i*b$ kommst Du, indem Du den Betrag $r \ = \ |z| \ = \ [mm] \wurzel{a^2+b^2}$ [/mm] sowie das Argument [mm] $\varphi [/mm] \ = \ [mm] \arctan\left(\bruch{b}{a}\right)$ [/mm] berechnest (dabei ist jeoch auch der entsprechende Quadrant in der Gauß'schen-Zahlenebene zu berücksichtigen!).
Damit wird dann: $z \ = \ [mm] r*e^{i*\varphi} [/mm] \ = \ [mm] r*\left[\cos(\varphi)+i*\sin(\varphi)\right]$
[/mm]
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Rechnen mit komplexen Zahlen
Für Quotient und Produkt verwende folgende Rechengesetze:
[mm] $\bruch{z_1}{z_2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{r_1*e^{i*\varphi_1}}{r_2*e^{i*\varphi_2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{r_1}{r_2}*e^{i*(\varphi_1-\varphi_2)}$
[/mm]
[mm] $z_1*z_2 [/mm] \ = \ [mm] r_1*e^{i*\varphi_1}*r_2*e^{i*\varphi_2} [/mm] \ = \ [mm] r_1*r_2*e^{i*(\varphi_1+\varphi_2)}$
[/mm]
Für Aufgabe (3) stelle zunächst um zu:
[mm] $z^3 [/mm] \ = \ -8$ [mm] $\gdw$ [/mm] $z \ = \ [mm] \wurzel[3]{-8} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{-8+i*0}$
[/mm]
Nun die Moivre-Formel verwenden:
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $ mit $ k \ = \ 0...(n-1) $
Dabei gilt hier:
$r \ = \ [mm] \wurzel{(-8)^2+0^2} [/mm] \ = \ 8$
[mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{-8}$ $\Rightarrow$ $\varphi [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] \ [mm] \hat= [/mm] \ 180°$
Also wird dann hier:
$ [mm] \wurzel[3]{-8} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{8}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\pi+k\cdot{}2\pi}{3}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\pi+k\cdot{}2\pi}{3}\right)\right] [/mm] $ mit $ k \ = \ 0,1,2$
Gruß vom
Roadrunner
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