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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Erzeugende Funktion
Erzeugende Funktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Erzeugende Funktion: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Fr 21.02.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

durch Berechnung der erzeugenden Funktion soll gezeigt werden, dass für die geometrische Verteilung

P(X = x) = p(1 - [mm] p)^{x - 1}, [/mm] x [mm] \in \IN [/mm]

gilt:

E(X) = [mm] \bruch{1}{p}, [/mm] Var(X) = [mm] \bruch{1 - p}{p^2}. [/mm]

In der Musterlösung steht nur drin:

Erzeugende Funktion: p(z) = [mm] \bruch{pz}{1 - (1 - p)z} [/mm]

Die erzeugende Funktion ist anderswo folgendermaßen definiert:

"Sei X eine Zufallsvariable, die die Werte i [mm] \in \IN_0 [/mm] mit den Wahrscheinlichkeiten [mm] p_i [/mm] annimmt. Dann heißt

p(z) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} p_i z^i [/mm]

die erzeugende Funktion der Verteilung."

Ich komme hiermit auf folgende erzeugende Funktion:

p(z) = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] p(1 - [mm] p)^{i - 1} z^i [/mm]

p(z) - (1 - p)z * p(z) = pz - p(1 - [mm] p)^n z^{n + 1} [/mm]

p(z) = [mm] \bruch{pz(1 - (1 - p)^n z^n)}{1 - (1 - p)z} [/mm]

Mir ist ja durchaus klar, dass für z = 1 der Nenner gegen pz geht, aber es findet ja gar keine Ersetzung z := 1 statt, sonst müsste die Musterlösung ja lauten

[mm] \bruch{p}{1 - (1 - p)} [/mm]

Kann mir einer erkären, wie man nun von [mm] \bruch{pz(1 - (1 - p)^n z^n)}{1 - (1 - p)z} [/mm] auf [mm] \bruch{pz}{1 - (1 - p)z} [/mm] bzw. was an meiner Rechnung evtl. falsch ist?

Gruß und Danke,

Martin

        
Bezug
Erzeugende Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Fr 21.02.2020
Autor: Fulla

Hallo Martin!

> Hallo,

>

> durch Berechnung der erzeugenden Funktion soll gezeigt
> werden, dass für die geometrische Verteilung

>

> P(X = x) = p(1 - [mm]p)^{x - 1},[/mm] x [mm]\in \IN[/mm]

>

> gilt:

>

> E(X) = [mm]\bruch{1}{p},[/mm] Var(X) = [mm]\bruch{1 - p}{p^2}.[/mm]

>

> In der Musterlösung steht nur drin:

>

> Erzeugende Funktion: p(z) = [mm]\bruch{pz}{1 - (1 - p)z}[/mm]

>

> Die erzeugende Funktion ist anderswo folgendermaßen
> definiert:

>

> "Sei X eine Zufallsvariable, die die Werte i [mm]\in \IN_0[/mm] mit
> den Wahrscheinlichkeiten [mm]p_i[/mm] annimmt. Dann heißt

>

> p(z) = [mm]\summe_{i=0}^{\infty} p_i z^i[/mm]

>

> die erzeugende Funktion der Verteilung."

>

> Ich komme hiermit auf folgende erzeugende Funktion:

>

> p(z) = [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] p(1 - [mm]p)^{i - 1} z^i[/mm] [mm]\quad(\ast)[/mm]

>

> p(z) - (1 - p)z * p(z) = pz - p(1 - [mm]p)^n z^{n + 1}[/mm]

>

> p(z) = [mm]\bruch{pz(1 - (1 - p)^n z^n)}{1 - (1 - p)z}[/mm]

Wo kommt denn das [mm]n[/mm] hier her?

> Mir ist ja durchaus klar, dass für z = 1 der Nenner gegen
> pz geht, aber es findet ja gar keine Ersetzung z := 1
> statt, sonst müsste die Musterlösung ja lauten

>

> [mm]\bruch{p}{1 - (1 - p)}[/mm]

Wenn [mm]z=1[/mm] gesetzt wird, kann da nichts gegen [mm]pz[/mm] gehen, da ja [mm]z=1[/mm] ist...

> Kann mir einer erkären, wie man nun von [mm]\bruch{pz(1 - (1 - p)^n z^n)}{1 - (1 - p)z}[/mm]
> auf [mm]\bruch{pz}{1 - (1 - p)z}[/mm] bzw. was an meiner Rechnung
> evtl. falsch ist?

Eher Letzteres... Du kannst (*) in eine geometrische Reihe umformen, indem du [mm]p[/mm] und ein [mm]z[/mm] aus der Summe rausziehst und eine Indexverschiebung durchführst. Siehe dazu Beispiel 5.1.8 (3) in http://biostat.userweb.mwn.de/teaching/statIII2005/skript/kap05.pdf

> Gruß und Danke,

>

> Martin

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
                
Bezug
Erzeugende Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:24 Sa 22.02.2020
Autor: sancho1980

Hallo

> Wo kommt denn das [mm]n[/mm] hier her?

Das war ein Bisschen schlampig geschrieben; statt

[mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] p(1 - [mm] p)^{i - 1} z^i [/mm]

war natürlich gemeint:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} [/mm] p(1 - [mm] p)^{i - 1} z^i [/mm]

> Eher Letzteres... Du kannst (*) in eine geometrische Reihe
> umformen, indem du [mm]p[/mm] und ein [mm]z[/mm] aus der Summe rausziehst und
> eine Indexverschiebung durchführst. Siehe dazu Beispiel
> 5.1.8 (3) in
> http://biostat.userweb.mwn.de/teaching/statIII2005/skript/kap05.pdf

Ok, danke für den Link. Dass die erzeugende Funktion nur für solche z [mm] \in \IR [/mm] definiert ist, für welche die Summe konvergiert, davon stand in meinem Buch nichts, und damit macht das ganze Sinn!

Gruß

Martin

Bezug
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