www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare AlgebraEndomorphismen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Endomorphismen
Endomorphismen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Endomorphismen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:27 Di 15.11.2005
Autor: bobby

Hallo!

Mich quält eine Aufgabe, bei der ich nicht so recht weiter komme...

Seien V ein K-Vektorraum und f, g Endomorphismen von V mit
1. f [mm] \circ [/mm] f = f und g [mm] \circ [/mm] g = g
2. f + g = [mm] id_{V} [/mm]
3. f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f = 0
Zeige, dass V = f(V) [mm] \oplus [/mm] g(V) gilt.

Also ich hab mir gedacht, dass das eigentlich doch schon aus Punkt zwei folgt, weil die Identität von V doch gleich V ist und dort auch f und g addiert werden, aber das wäre zueinfach und außerdem was sollten dann die anderen Punkte in der Aufgabe???....

        
Bezug
Endomorphismen: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:30 Di 15.11.2005
Autor: statler

Einen schönen guten Morgen!

> Mich quält eine Aufgabe, bei der ich nicht so recht weiter
> komme...
>  
> Seien V ein K-Vektorraum und f, g Endomorphismen von V mit
>  1. f [mm]\circ[/mm] f = f und g [mm]\circ[/mm] g = g
>  2. f + g = [mm]id_{V}[/mm]
>  3. f [mm]\circ[/mm] g = g [mm]\circ[/mm] f = 0
>  Zeige, dass V = f(V) [mm]\oplus[/mm] g(V) gilt.
>  
> Also ich hab mir gedacht, dass das eigentlich doch schon
> aus Punkt zwei folgt, weil die Identität von V doch gleich
> V ist und dort auch f und g addiert werden, aber das wäre
> zueinfach und außerdem was sollten dann die anderen Punkte
> in der Aufgabe???....

Das Zeichen [mm] \oplus [/mm] bedeutet 'direkte Summe', und aus 2. folgt nur, daß f(V) und g(V) V erzeugen. Man (d. h. du) muß jetzt noch zeigen, daß die Darstellung x = f(x) + g(x) eindeutig ist, oder glw. daß der Durchschnitt von f(V) und g(V) nur den 0-Vektor enthält. Dabei kommen dann die anderen Voraussetzungen ins Spiel.

Gruß aus dem regnerischen HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
Bezug
Endomorphismen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Di 15.11.2005
Autor: bobby

Also, das die Darstellung eindeutig ist ist mir klar, aber bei dem zweiten komm ich nicht weiter.
Ansich ist das ja logisch, dass wenn f+g=V ist, dass dann f geschnitten g den Nullvektor enthält, d.h. anschaulich ist das ja klar, aber mit dem Beweis hab ich so meine Probleme...

Bezug
                        
Bezug
Endomorphismen: So z. B.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:40 Mi 16.11.2005
Autor: statler

Guten Morgen!

> Also, das die Darstellung eindeutig ist ist mir klar, aber
> bei dem zweiten komm ich nicht weiter.
>  Ansich ist das ja logisch, dass wenn f+g=V ist, dass dann
> f geschnitten g den Nullvektor enthält, d.h. anschaulich
> ist das ja klar, aber mit dem Beweis hab ich so meine
> Probleme...

Ob dir das klar ist, ist mir nicht klar...Der Begriff 'direkte Summe' ist auf jeden Fall wichtig, damit muß man umgehen können.

Wenn ein x im Durchschnitt f(V) [mm] \cap [/mm] g(V) liegt, bedeutet das doch, daß es y und z in V gibt mit x = f(y) = g(z). Aber dann ist f(x) = f [mm] \circ [/mm] f(y) = f(y) und ebenso f(x) = f [mm] \circ [/mm] g(z) = 0 nach Voraussetzung. Und dann ist weiter x = 0, also ist der Durchschnitt der Nullraum!

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]