Ebene bestimmen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | geg.: A [mm] \vektor{2 \\ -1\\ 7} [/mm] ; B [mm] \vektor{0 \\ 3\\ 9} [/mm] und E: [mm] 2x_{1}+2x_{2}+x_{3}
[/mm]
ges.: Ebene f, die A und B enthält und senkrecht zu E liegt. |
Hallo!
Wär toll, wenn sich jemand fände, der mir die Aufgabe mal vorrechnen könnte. Krieg das irgendwie nicht hin :(
Danke schonmal,
Nadine
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Do 23.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Nadine.
Be der Ebene, die du angegeben hast, fehlt noch eine Zahl, es sollte heissen: E= $ [mm] 2x_{1}+2x_{2}+x_{3}+\red{d} [/mm] $, aber Egal, das Rechenprinzip bleibt unangetastet.
Der Normalenvektor der Ebene E ist ja [mm] \vec{n_{e}}=\vektor{2\\2\\1}
[/mm]
Nun bilde mal den Vektor [mm] \overrightarrow{AB}={-2\\1\\2}
[/mm]
Für die gesuchte Ebene F können vir also [mm] \vec{a} [/mm] als Stützpunkt nehmen, und [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] als einen Richtungsvektor.
Bleibt der zweite Richtungsvektor zu bestimmen. Dieser muss ja senkrecht zum Normalenvektor [mm] \vec{n_{E}} [/mm] stehen. Wie er zu [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] steht, ist erstmal egal. Also können wir es uns einfach machen, indem wir mit den Kreuzprodukt aus [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \vec{n_{e}} [/mm] diesen bestimmen.
Es gilt also: [mm] \vec{f_{2}}=\overrightarrow{AB}\times\vec{n_{e}}
[/mm]
Also gilt für die Ebene F:
[mm] F:\vec{x}=\vec{a}+\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\vec{f_{2}}
[/mm]
Ach ja: Die Definition des Kreuzproduktes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Der Vektor steht dann senkrecht auf den beiden "Eingabevektoren")
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo, jetzt hab ich aber noch zwei Fragen zu deiner Antwort (ich kann hartnäckig sein ;))
1. wie kommt man auf den Vektor [mm] \vec{AB}, [/mm] hatte da nämlich [mm] \vektor{-2 \\ 4\\2} [/mm] raus...
Und dann nochmal zu diesen Schritten:
Es gilt also: $ [mm] \vec{f_{2}}=\overrightarrow{AB}\times\vec{n_{e}} [/mm] $
Also [mm] \vektor{-2 \\ 4\\2} [/mm] bzw. [mm] \vektor{-2 \\ 1\\2} [/mm] mal $ [mm] \vec{n_{e}}=\vektor{2\\2\\1} [/mm] $ ?
Und diese Schreibart hab ich auch nich so verstanden *g*
Also gilt für die Ebene F:
$ [mm] F:\vec{x}=\vec{a}+\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\vec{f_{2}} [/mm] $
Hoffe, ich nerv dich nich all zu dolle, danke trotzdem
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Fr 24.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo, jetzt hab ich aber noch zwei Fragen zu deiner
> Antwort (ich kann hartnäckig sein ;))
> 1. wie kommt man auf den Vektor [mm]\vec{AB},[/mm] hatte da nämlich
> [mm]\vektor{-2 \\ 4\\2}[/mm] raus...
Hast recht, ich habe mich schlicht und einfach verrechnet.
> Und dann nochmal zu diesen Schritten:
>
> Es gilt also:
> [mm]\vec{f_{2}}=\overrightarrow{AB}\times\vec{n_{e}}[/mm]
> Also [mm]\vektor{-2 \\ 4\\2}[/mm] bzw. [mm]\vektor{-2 \\ 1\\2}[/mm] mal
> [mm]\vec{n_{e}}=\vektor{2\\2\\1}[/mm] ?
Yep, [mm] \vektor{-2\\4\\2}\times\vektor{2\\2\\1}=\vektor{4-4\\4-(-2)\\-4-8}=\vektor{0\\6\\-12}
[/mm]
>
> Und diese Schreibart hab ich auch nich so verstanden *g*
> Also gilt für die Ebene F:
>
> [mm]F:\vec{x}=\vec{a}+\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\vec{f_{2}}[/mm]
>
[mm] F:\vec{x}=\underbrace{\vec{a}}_{\text{Stützvektor}}+\underbrace{\lambda}_{\text{1.Parameter}}\underbrace{\overrightarrow{AB}}_{\text{1.Richtungsvektor}}+\underbrace{\mu}_{\text{2.Parameter}}\underbrace{\vec{f_{2}}}_{\text{2.Richtungsvektor}}
[/mm]
> Hoffe, ich nerv dich nich all zu dolle, danke trotzdem
Jetzt klarer?
Marius
|
|
|
| |
|
supi dank dir!
lg,
Nadine
|
|
|
|
