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Forum "Determinanten" - Determinante Matrix Herleitung
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Determinante Matrix Herleitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:36 Mo 18.10.2021
Autor: teskiro

Hallo, ich habe eine Frage bezüglich der Determinante einer Matrix und dem Volumen des von den Spalten der Matrix aufgespannten Parallelotops.

Mich interessiert die Herleitung der Determinante einer 2x2 - Matrix und einer 3x3 - Matrix.


Fangen wir bei einer 2x2 - Matrix an:


Für die Determinante einer Matrix

$A = [mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] = $ [mm] \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in [/mm] Mat(2, [mm] \mathbb{R}) [/mm] gilt $det(A) = [mm] \vert a_{11} \cdot a_{22} [/mm] - [mm] a_{12} \cdot a_{21} \vert$ [/mm]



Zudem ist die Determinante von $A$ gleich dem Flächeninhalt des von den Spalten der Matrix aufgespannten Parallelogramms.

Für den Fächeninhalt $A$ des Parallelogramms gilt:

$A = [mm] \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} [/mm] = [mm] \sqrt{a_{11}^{2} + a_{21}^{2}} [/mm] + [mm] \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}} [/mm] = [mm] \sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}$ [/mm]


Meine Frage ist nun:

Wie kommt man von $ [mm] \sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}$ [/mm] auf [mm] $\vert a_{11} \cdot a_{22} [/mm] - [mm] a_{12} \cdot a_{21} \vert$ [/mm] ?

Ich habe versucht, die Gleichheit zu zeigen, aber bei mir fallen die Quadrate einfach nicht weg.

Wäre froh, wenn mir jemand an dieser Stelle helfen könnte.


Die Sarrus - Regel lässt sich induktiv wahrscheinlich genauso herleiten, daher muss ich nur wissen, wie man die obige Gleichheit zeigt.


Liebe Grüße, Tim

        
Bezug
Determinante Matrix Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:33 Mo 18.10.2021
Autor: statler

Guten Morgen!

> Hallo, ich habe eine Frage bezüglich der Determinante
> einer Matrix und dem Volumen des von den Spalten der Matrix
> aufgespannten Parallelotops.
>  
> Mich interessiert die Herleitung der Determinante einer 2x2
> - Matrix und einer 3x3 - Matrix.
>  
>
> Fangen wir bei einer 2x2 - Matrix an:
>  
>
> Für die Determinante einer Matrix
>
> [mm]A = (a_{1}, a_{2}) =[/mm] [mm]\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in[/mm]
> Mat(2, [mm]\mathbb{R})[/mm] gilt [mm]det(A) = \vert a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \vert[/mm]

So nicht, da gilt [mm]det(A) = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} [/mm]

> Zudem ist die Determinante von [mm]A[/mm] gleich dem Flächeninhalt
> des von den Spalten der Matrix aufgespannten
> Parallelogramms.
>  
> Für den Fächeninhalt [mm]A[/mm] des Parallelogramms gilt:
>  
> [mm]A = \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} = \sqrt{a_{11}^{2} + a_{21}^{2}} + \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}} = \sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}[/mm]

Das stimmt schon aus Dimensionsgründen nicht, [mm] $\sqrt{a_{11}^{2} + a_{21}^{2}} [/mm] + [mm] \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}}$ [/mm] hat die Dimension einer Länge. Und außerdem ist für [mm] $a_{1} [/mm] = [mm] a_{2}$ [/mm] der Flächeninhalt 0.

Da muß ein neuer Ansatz her!

Gruß Dieter


Bezug
        
Bezug
Determinante Matrix Herleitung: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Mo 18.10.2021
Autor: meili

Hallo teskiro,

> Hallo, ich habe eine Frage bezüglich der Determinante
> einer Matrix und dem Volumen des von den Spalten der Matrix
> aufgespannten Parallelotops.
>  
> Mich interessiert die Herleitung der Determinante einer 2x2
> - Matrix und einer 3x3 - Matrix.
>  
>
> Fangen wir bei einer 2x2 - Matrix an:
>  
>
> Für die Determinante einer Matrix
>
> [mm]A = (a_{1}, a_{2}) =[/mm] [mm]\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in[/mm]
> Mat(2, [mm]\mathbb{R})[/mm] gilt [mm]det(A) = \vert a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \vert[/mm]
>  
>
>
> Zudem ist die Determinante von [mm]A[/mm] gleich dem Flächeninhalt
> des von den Spalten der Matrix aufgespannten
> Parallelogramms.
>  
> Für den Fächeninhalt [mm]A[/mm] des Parallelogramms gilt:
>  
> [mm]A = \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} = \sqrt{a_{11}^{2} + a_{21}^{2}} + \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}} = \sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}[/mm]

[mm]A = \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} [/mm] gilt nicht allgemein für die Fläche des Parallelogramms,
sondern nur wenn [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] einen rechten Winkel einschließen,
also das Parallelogramm ein Rechteck ist.

Weiter ist
[mm] \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} = \sqrt{a_{11}^{2} +a_{21}^{2}} \cdot \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}} [/mm]

>  
>
> Meine Frage ist nun:
>
> Wie kommt man von [mm]\sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}[/mm]
> auf [mm]\vert a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \vert[/mm]
> ?
>  
> Ich habe versucht, die Gleichheit zu zeigen, aber bei mir
> fallen die Quadrate einfach nicht weg.
>
> Wäre froh, wenn mir jemand an dieser Stelle helfen
> könnte.
>  
>
> Die Sarrus - Regel lässt sich induktiv wahrscheinlich
> genauso herleiten, daher muss ich nur wissen, wie man die
> obige Gleichheit zeigt.
>  
>
> Liebe Grüße, Tim

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
Determinante Matrix Herleitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:21 Di 19.10.2021
Autor: fred97

Dir wurde schon gesagt, dass Deine "Formel" für den Flächeninhalt falsch ist.

Hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogramm

findest Du eine Herleitung des Flächeninhaltes, die Deine Wünsche erfüllt.

Bezug
                
Bezug
Determinante Matrix Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:31 Do 21.10.2021
Autor: teskiro

Ich bedanke mich für alle Antworten! :) Sorry, wenn die Rückmeldung etwas gedauert hat, bin diese Woche ein bisschen im Stress.
Ich werde mir den Wiki - Artikel morgen durchlesen, vielleicht werde ich schlauer daraus.

Liebe Grüße,
Tim

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