Binomialverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das Textilunternehmen Telius hat kurz nach Beginn derCoronakrise in Deutschland eine Produktionsstraße für FFP2-Masken eingerichtet. Bisherige Prüfungen haben ergeben, dass 2 % der Masken Produktionsfehler aufweisen.
(a) Eine einzige Maske werde zufällig aus der Produktion entnommen. Bezeichnen Sie das Ereignis, dass diese Maske einen Defekt hat, mit D, sowie das Gegenereignis mit E („einwandfrei“). Die Eintrittswahrscheinlichkeit von D soll mit p, die von E mit q bezeichnet werden.
Modellieren Sie diese (sehr überschaubare) stochastische Situation unter Verwendung einer Zufallsgröße [mm] X_1, [/mm] welche einer defekten Maske den Wert 1 und einer einwandfreien den Wert 0 zuweist.
(b) Formalisieren Sie nun mit möglichst zu (a) analogen Bezeichnungen die zufällige Ziehung von n = 4 Masken aus der Produktion unter Verwendung einer Zufallsgröße [mm] X_4, [/mm] welche die Anzahl der defekten Masken unter den gezogenen angibt. Geben Sie insbesondere die Wahrscheinlichkeitsver-teilung von [mm] X_4 [/mm] an.
(c) Berechnen Sie die Erwartungswerte der Zufallsgrößen [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_4. [/mm] |
In der geg. Lösung wird diese Aufgabe als Binomialverteilung gelöst.
Binomialverteilung ist doch mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge.
Bei dieser Aufgabe kann ich nicht erkennen, inwiefern sie "mit Zurücklegen" ist.
Ich bitte hierfür um eine Erklärung.
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Hiho,
> Binomialverteilung ist doch mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge.
Nein, die Aussage ist Quatsch. Wie du auch gerade bei dieser Aufgabe merkst.
Aber: Betrachtet man eine Urne, aus der man mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zieht, erhält man eine Binomialverteilung.
Aber nicht jede Binomialverteilung muss unbedingt ein Experiment "mit Zurücklegen und ohne Berücksichtung der Reihenfolge" sein.
> Bei dieser Aufgabe kann ich nicht erkennen, inwiefern sie "mit Zurücklegen" ist.
Ist sie auch nicht und darum merkst du auch, wieso diese Richtung deiner Schlussfolgerung falsch ist.
Eine Binomialverteilung tritt dann auf, wenn ein identisches Experiment mit zwei Ausgängen (1 oder 0) n-mal wiederholt wird und man nur die Anzahl an "Erfolgen" zählt (also die Reihenfolge der Erfolge / Misserfolge egal ist).
Das ist beispielsweise bei einem Urnenexperiment mit Zurücklegen der Fall… und ebenso bei obiger Untersuchung der Maskenqualität:
Die Entnahme einer Maske zur Untersuchung beeinflusst in keiner Weise die spätere Entnahme weiterer Masken. Das Fließband läuft weiter und die "Lücke" ist ratzfatz weg. Man kann also annehmen, dass das identische Experiment immer wieder ausgeführt wird und man nur zählen möchte, wie viele "Erfolge" (fehlerhafte Masken) man erhält… und schups, hat man eine Binomialverteilung.
Aus diesem Grund finde ich persönlich auch die Einführung der Binomialverteilung über das Urnenmodell ungünstig… offensichtlicher ist das, wenn man die Binomialverteilung als Summe von n-unabhängigen Bernoulli-Experminenten einführt (ergo als n identische, unabhängige Erfolgsmessungen).
Gruß,
Gono
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