www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMaßtheorieBildmaße, die erste
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Maßtheorie" - Bildmaße, die erste
Bildmaße, die erste < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bildmaße, die erste: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Fr 03.02.2017
Autor: tobi91_nds

Aufgabe
Gegeben sei ein Maßraum [mm] $\left(X,\mathcal{A},\nu\right)$ [/mm] und ein messbarer Raum [mm] $\left(Y,\mathcal{B}\right)$, [/mm] Des Weiteren sei [mm] $h:X\rightarrow [/mm] Y$ mit [mm] $h^{-1}\left(B\right)\in\mathcal{A} \forall B\in\mathcal{B}$. [/mm] Zeige: [mm] $\left(h*\nu\right)\left(B\right):= \nu\left(h^{-1}\left(B\right)\right), B\in\mathcal{B}$ [/mm] wird zu einere [mm] $\sigma$-additiven [/mm] Mengenfunktion definiert.

Für den Beweis verwende ich folgende Aussagen:

[mm] $\left(i\right)$ $h^{-1}\left(\cup_{k=1}^\infty B_k\right)=\cup_{k=1}^\infty h^{-1}\left(B_k\right)$ [/mm]

[mm] $\left(ii\right)$ $h^{-1}\left(B_i\right)\cap h^{-1}\left(B_j\right)=\emptyset \forall i\neq [/mm] j$

Sehe ich das richtig, dass die Aufgabe mit dem Beweis dieser beiden Punkte schon im wesentlichen erledigt ist und der rest aus den Eigenschaften (Sigma-Additivität) der Mengenfunktion [mm] $\nu$ [/mm] folgt? Die beiden Aussagen habe ich mal in den ersten Wochen des ersten Semesters bewiesen und das erscheint mir gerade verdächtig trivial.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bildmaße, die erste: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:34 Fr 03.02.2017
Autor: fred97


> Gegeben sei ein Maßraum [mm]\left(X,\mathcal{A},\nu\right)[/mm] und
> ein messbarer Raum [mm]\left(Y,\mathcal{B}\right)[/mm], Des Weiteren
> sei [mm]h:X\rightarrow Y[/mm] mit [mm]h^{-1}\left(B\right)\in\mathcal{A} \forall B\in\mathcal{B}[/mm].
> Zeige: [mm]\left(h*\nu\right)\left(B\right):= \nu\left(h^{-1}\left(B\right)\right), B\in\mathcal{B}[/mm]
> wird zu einere [mm]\sigma[/mm]-additiven Mengenfunktion definiert.
>  Für den Beweis verwende ich folgende Aussagen:
>  
> [mm]\left(i\right)[/mm] [mm]h^{-1}\left(\cup_{k=1}^\infty B_k\right)=\cup_{k=1}^\infty h^{-1}\left(B_k\right)[/mm]
>  
> [mm]\left(ii\right)[/mm] [mm]h^{-1}\left(B_i\right)\cap h^{-1}\left(B_j\right)=\emptyset \forall i\neq j[/mm]
>  
> Sehe ich das richtig, dass die Aufgabe mit dem Beweis
> dieser beiden Punkte schon im wesentlichen erledigt ist und
> der rest aus den Eigenschaften (Sigma-Additivität) der
> Mengenfunktion [mm]\nu[/mm] folgt?

Ja, das siehst Du richtig. Ich würde allerdings noch dazuschreiben, dass die Mengen [mm] B_1,B_2,B_3,.... [/mm] paarweise disjunkt sind (sonst stimmt nämlich $(ii)$ nicht.



> Die beiden Aussagen habe ich mal
> in den ersten Wochen des ersten Semesters bewiesen und das
> erscheint mir gerade verdächtig trivial.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]