Beweis Äquivalenz von Aussagen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | U [mm] \subset [/mm] V ist ein k-dimensionaler Vektorraum. Zeigen Sie, dass für jede Teilmenge M [mm] \subset [/mm] U doe folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
1) M ist Basis von U
2) M ist linear unabhänig und besteht uas k-Vektoren
3) M spannt U auf und besteht aus k Vektoren |
Nabend,
ich muss ja wie folgt vorgehen:
[mm] 1)\Rightarrow2)\Rightarrow3)\Rightarrow1)
[/mm]
Zunächst mal [mm] 1)\Rightarrow2)
[/mm]
M ist eine Basis von U, M sei := { [mm] m_1,....,m_r [/mm] } und U ist ein k-dimensionaler Vektorraum.
Die Dimension eines endlichen Vektorraums ist ja die Länge bzw. Mächtigkeit seiner Basis.
|M|=r und dim(U) ist ber Definiton ja schon k.
Also ist: dim(U)=k=r=|M|
[mm] 2)\Rightarrow3)
[/mm]
hier bin ich mir nicht ganz sicher.
M [mm] \subset [/mm] U und M:={ [mm] m_1,....,m_k [/mm] } [mm] \Rightarrow [/mm] dim(M)=k
Kann ich jetzt sagen: U soll per Definiton aus k Vektoren bestehen, also ist dimU=dimM=k
Daraus folgt: U=span(M)
[mm] 3)\Rightarrow1) [/mm] U=span(M)= [mm] span(m_1,...,m_k)
[/mm]
"und besteht aus k Vektoren" - dass bezieht sich in der Aufgabenstellung auf M oder?
Also dim(M)=k
Da U aber auch aus k Vektoren besteht 8also dim(U)=k ist M={ [mm] m_1,...,m_k} [/mm] eeine Basis von U.
Sind diese Argumentationen schlüssig?
Schönen Abend,
Sup
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> U [mm]\subset[/mm] V ist ein k-dimensionaler Vektorraum. Zeigen Sie,
> dass für jede Teilmenge M [mm]\subset[/mm] U doe folgenden
> Eigenschaften äquivalent sind.
> 1) M ist Basis von U
> 2) M ist linear unabhänig und besteht uas k-Vektoren
> 3) M spannt U auf und besteht aus k Vektoren
> Nabend,
>
> ich muss ja wie folgt vorgehen:
> [mm]1)\Rightarrow2)\Rightarrow3)\Rightarrow1)[/mm]
>
> Zunächst mal [mm]1)\Rightarrow2)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> M ist eine Basis von U, M sei := { [mm]m_1,....,m_r[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und U
> ist ein k-dimensionaler Vektorraum.
>
> Die Dimension eines endlichen Vektorraums ist ja die Länge
> bzw. Mächtigkeit seiner Basis.
> |M|=r und dim(U) ist ber Definiton ja schon k.
> Also ist: dim(U)=k=r=|M|
Ja. Linear unabhängig ist denke ich auch klar, oder? Das ist einfach genau die Def. einer Basis.
>
> [mm]2)\Rightarrow3)[/mm]
> hier bin ich mir nicht ganz sicher.
> M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U und M:={ [mm]m_1,....,m_k[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\Rightarrow[/mm] dim(M)=k
>
Das macht keinen Sinn. Du meinst dim(span(M))=k.
> Kann ich jetzt sagen: U soll per Definiton aus k Vektoren
> bestehen, also ist dimU=dimM=k
Nein. Was heißt hier U soll aus k Vektoren bestehen? Eine Basis von U besteht aus k Vektoren. k linear unabhängige Vektoren aus U spannen dann immer schon U auf sonst findest du ja einen Vektor [mm]v\in U \setminus span(M) [/mm], und also sind v, [mm] m_{1}, [/mm] ..., [mm] m_{k} [/mm] k+1 linear unabhängige Vektoren in U was wegen dimU=k nicht geht.
>
> Daraus folgt: U=span(M)
>
> [mm]3)\Rightarrow1)[/mm] U=span(M)= [mm]span(m_1,...,m_k)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> "und besteht aus k Vektoren" - dass bezieht sich in der
> Aufgabenstellung auf M oder?
> Also dim(M)=k
> Da U aber auch aus k Vektoren besteht 8also dim(U)=k ist
Auch hier: Diese Aussagen ergeben keinen Sinn. M ist kein Vektorraum, und U enthält sicher mehr als nur k Vektoren.
> M={ [mm]m_1,...,m_k}[/mm] eeine Basis von U.
Hier solltest du genau zeigen wieso M eine Basis ist, d.h. wieso sind die Vektoren aus M linear unabhängig, wenn dimU=k ?
>
> Sind diese Argumentationen schlüssig?
>
> Schönen Abend,
> Sup
Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Sup |
> > [mm]2)\Rightarrow3)[/mm]
> Das macht keinen Sinn. Du meinst dim(span(M))=k.
>
Warum M wird von [mm] m_1 [/mm] bis [mm] m_k [/mm] aufgepannt, also ist doch [mm] m_1 [/mm] bis [mm] m_k [/mm] eine Basis von M?
Und die Dimension von M ist die anzahl der Basisvektoren also k.
> > Kann ich jetzt sagen: U soll per Definiton aus k Vektoren
> > bestehen, also ist dimU=dimM=k
> Nein. Was heißt hier U soll aus k Vektoren bestehen?
> Eine Basis von U besteht aus k Vektoren. k linear unabhängige
> Vektoren aus U spannen dann immer schon U auf sonst findest
> du ja einen Vektor [mm]v\in U \setminus span(M) [/mm], und also sind
> v, [mm]m_{1},[/mm] ..., [mm]m_{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
k+1 linear unabhängige Vektoren in U
> was wegen dimU=k nicht geht.
Hmm, stimmt.
Also haben wir M:={ m_1,..., m_k } ist l.u., |M|=k
und dim(U)=k.
....Mir fehlt irgendwie der Ansatz.
>
> >
> >
> > 3)\Rightarrow1)
> > "und besteht aus k Vektoren" - dass bezieht sich in der
> > Aufgabenstellung auf M oder?
> > Also dim(M)=k
> > Da U aber auch aus k Vektoren besteht 8also dim(U)=k ist
> Auch hier: Diese Aussagen ergeben keinen Sinn. M ist kein
> Vektorraum, und U enthält sicher mehr als nur k Vektoren.
>
> > M={ [mm]m_1,...,m_k}[/mm] eeine Basis von U.
>
> Hier solltest du genau zeigen wieso M eine Basis ist, d.h.
> wieso sind die Vektoren aus M linear unabhängig, wenn
> dimU=k ?
Wir haben bei 3) dann U=span(M) und M={ [mm] m_1,...m_k [/mm] } mit |M|=k gegeben. Außerdem ist U ein Vektorraum mit dim(U)=k.
D.h. unter den Vektoren [mm] m_1,...m_k [/mm] muss eine Anzahl von Vektoren [mm] m_1,...m_1 [/mm] zwangsläufig eine Baisis von M sein, denn M [mm] \subset [/mm] U
Da aber dim(U)=k ist und |M|=k sind [mm] m_1,...m_k [/mm] die Basis von U.
Stimmt das jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Berieux |
> > > [mm]2)\Rightarrow3)[/mm]
> > Das macht keinen Sinn. Du meinst dim(span(M))=k.
> >
> Warum M wird von [mm]m_1[/mm] bis [mm]m_k[/mm] aufgepannt, also ist doch [mm]m_1[/mm]
Nein, M ist nichtmal ein Vektorraum, sondern einfach die Menge der Vektoren [mm] m_{1},...,m{k} [/mm].
> bis [mm]m_k[/mm] eine Basis von M?
> Und die Dimension von M ist die anzahl der Basisvektoren
> also k.
>
> > > Kann ich jetzt sagen: U soll per Definiton aus k Vektoren
> > > bestehen, also ist dimU=dimM=k
>
> > Nein. Was heißt hier U soll aus k Vektoren bestehen?
> > Eine Basis von U besteht aus k Vektoren. k linear
> unabhängige
> > Vektoren aus U spannen dann immer schon U auf sonst findest
> > du ja einen Vektor [mm]v\in U \setminus span(M) [/mm], und also sind
> > v, [mm]m_{1},[/mm] ..., [mm]m_{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> k+1 linear unabhängige Vektoren in U
> > was wegen dimU=k nicht geht.
>
> Hmm, stimmt.
> Also haben wir M:={ m_1,..., m_k } ist l.u., |M|=k
> und dim(U)=k.
> ....Mir fehlt irgendwie der Ansatz.
Wie meinst du das? Ich hab dir den Beweis zu 2) -> 3) doch oben hingeschrieben. Du nimmst an es existiert ein v in U \ span(M) und konstruierst einen Widerspruch. Also ist U=span(M).
> >
> > >
> > >
> > > 3)\Rightarrow1)
>
> > > "und besteht aus k Vektoren" - dass bezieht sich in der
> > > Aufgabenstellung auf M oder?
> > > Also dim(M)=k
> > > Da U aber auch aus k Vektoren besteht 8also dim(U)=k ist
> > Auch hier: Diese Aussagen ergeben keinen Sinn. M ist kein
> > Vektorraum, und U enthält sicher mehr als nur k Vektoren.
> >
> > > M={ [mm]m_1,...,m_k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eeine Basis von U.
> >
> > Hier solltest du genau zeigen wieso M eine Basis ist, d.h.
> > wieso sind die Vektoren aus M linear unabhängig, wenn
> > dimU=k ?
>
> Wir haben bei 3) dann U=span(M) und M={ [mm]m_1,...m_k[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} mit
> |M|=k gegeben. Außerdem ist U ein Vektorraum mit
> dim(U)=k.
>
> D.h. unter den Vektoren [mm]m_1,...m_k[/mm] muss eine Anzahl von
> Vektoren [mm]m_1,...m_1[/mm] zwangsläufig eine Baisis >von M sein,
Du meinst von U.
> denn M [mm]\subset[/mm] U
Nein wegen span(M)=U. Ihr hattet nämlich sicherlich den Satz, dass jedes Erzeugendensystem eines VR eine Basis enthält.
> Da aber dim(U)=k ist und |M|=k sind [mm]m_1,...m_k[/mm] die Basis
> von U.
Genau.
>
> Stimmt das jetzt?
Grüße,
Berieux
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Sup |
> > > > [mm]2)\Rightarrow3)[/mm]
> > > Das macht keinen Sinn. Du meinst dim(span(M))=k.
> > >
> > Warum M wird von [mm]m_1[/mm] bis [mm]m_k[/mm] aufgepannt, also ist doch [mm]m_1[/mm]
>
> Nein, M ist nichtmal ein Vektorraum, sondern einfach die
> Menge der Vektoren [mm]m_{1},...,m{k} [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
Alles, klar.
> Wie meinst du das? Ich hab dir den Beweis zu 2) -> 3)
> doch oben hingeschrieben. Du nimmst an es existiert ein v
> in U \ span(M) und konstruierst einen Widerspruch. Also ist
> U=span(M).
Ja, stimmt. Habe das beim 1. lesen völlig falsch verstanden :-(
> > Wir haben bei 3) dann U=span(M) und M={
> [mm]m_1,...m_k[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> } mit
> > |M|=k gegeben. Außerdem ist U ein Vektorraum mit
> > dim(U)=k.
> >
> > D.h. unter den Vektoren [mm]m_1,...m_k[/mm] muss eine Anzahl von
> > Vektoren [mm]m_1,...m_1[/mm] zwangsläufig eine Baisis >von M sein,
>
> Du meinst von U.
Ja hab mich vertippt.
> > denn M [mm]\subset[/mm] U
> Nein wegen span(M)=U. Ihr hattet nämlich sicherlich den
> Satz, dass jedes Erzeugendensystem eines VR eine Basis
> enthält.
Jop hatten wir, habe ihn gerade nochmal nachgeshclagen. Jetzt ist mir der Punkt auhc einleuchtent ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Da aber dim(U)=k ist und |M|=k sind [mm]m_1,...m_k[/mm] die Basis
> > von U.
> Genau.
>
> >
> > Stimmt das jetzt?
>
>
> Grüße,
> Berieux
Danke für die flotte Hilfe zur späten stunde
Gruß
sup
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