Bestimmung der Fourrierreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen sie die Fourierreihe der Funktion
f(x)=
0 für -pi <= x <= -pi/2
sin(x)*cos(x) für -pi/2 <=x <= pi/2
0 für pi/2 <= x <=x
f(x+2pi) = f(x) |
Hi, habe Probleme bei dieser Reihe.
Sie ist punktsymetrisch, deshalb fällt [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_n [/mm] weg.
jetzt muss ich ja f(x) * sin (x) integrieren. sin (x)* cos (x) ist ja 0.5 sin (2x).
Dann habe ich das Integral 0.5 sin (2x) * sin (n*x) .
WIe denn weiter ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Di 27.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie die Fourierreihe der Funktion
> f(x)=
>
> 0 für -pi <= x <= -pi/2
> sin(x)*cos(x) für -pi/2 <=x <= pi/2
> 0 für pi/2 <= x <=x
>
> f(x+2pi) = f(x)
> Hi, habe Probleme bei dieser Reihe.
>
> Sie ist punktsymetrisch, deshalb fällt [mm]a_0[/mm] und [mm]a_n[/mm] weg.
> jetzt muss ich ja f(x) * sin (x) integrieren. sin (x)* cos
> (x) ist ja 0.5 sin (2x).
>
> Dann habe ich das Integral 0.5 sin (2x) * sin (n*x) .
>
> WIe denn weiter ?
Tipp: Orthogonalitätsrelationen
FRED
|
|
|
| |
|
FInde es gut das du mir nicht einfach Lösungen gibst sondern etwas mit dem ich vllt etwas lernen kann :)
Hab das jetzt mal gegoogelt ( kannte es nicht, schande über mich ).
Meine SChlussfolgerung ist, dass in meinem Fall für n =/2 das ganze 0 wird und ich nur den fall n =2 zu betrachten habe.
Allerdings habe ich ja dann immer noch das Integral von sin (2x)*sin (2x).
Laut mathematica kann ich das mit substitution irgendwie lösen ?
|
|
|
| |
|
Hallo Traumfabrik,
> FInde es gut das du mir nicht einfach Lösungen gibst
> sondern etwas mit dem ich vllt etwas lernen kann :)
>
> Hab das jetzt mal gegoogelt ( kannte es nicht, schande
> über mich ).
>
> Meine SChlussfolgerung ist, dass in meinem Fall für n =/2
> das ganze 0 wird und ich nur den fall n =2 zu betrachten
> habe.
Das Integral wird nur für bestimmte n zu 0.
> Allerdings habe ich ja dann immer noch das Integral von
> sin (2x)*sin (2x).
>
Forme diesen Ausdruck gemäß eines geeigenete Additionstheorems um.
> Laut mathematica kann ich das mit substitution irgendwie
> lösen ?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Wird es nicht wie geschrieben für alle n ungleich 2 0?
|
|
|
| |
|
Hallo Traumfabrik,
> Wird es nicht wie geschrieben für alle n ungleich 2 0?
Wenn diese Koeffizienten alle 0 sind, dann ja.
Die Koeffizienten sind aber nicht für [mm]\forall n \not=2[/mm] Null.
Berechne doch die Fourierkoeffizienten für allgemeines n.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ok hab jetzt umgeformt in 0.5 (cos (x-y) - cos (x+y))
Als integral habe ich dann rausbekommen für [mm] b_n
[/mm]
[mm] \frac{1}{4pi}*( \frac{1}{2-n}*sin(x*(2-n))-\frac{1}{2+n}*sin(x*(2+n)))
[/mm]
Bin ich soweit richtig ?
|
|
|
| |
|
Hallo Traumfabrik,
> Ok hab jetzt umgeformt in 0.5 (cos (x-y) - cos (x+y))
>
> Als integral habe ich dann rausbekommen für [mm]b_n[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{4pi}*( \frac{1}{2-n}*sin(x*(2-n))-\frac{1}{2+n}*sin(x*(2+n)))[/mm]
>
> Bin ich soweit richtig ?
Ja, das ist richtig für [mm]n \not=2[/mm].
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Eingesetzt bekomme ich dann raus
[mm] \frac{1}{4pi} [/mm] * ( [mm] \frac{1}{2-n}- \frac{1}{2+n}+ \frac{1}{2-n}- \frac{1}{2+n})
[/mm]
Sehe jetzt spontan aber keine weiter gute Vorgehensweise, vllt erweitern jeweils mit 2+n bzw. 2 -n ?
PS: Woher weiss ich, dass das für n ungleich 2 nur gilt, erst seit dem n-2 im Nenner der Stammfunktion auftaucht oder früher ?
|
|
|
| |
|
Hallo Traumfabrik,
> Eingesetzt bekomme ich dann raus
>
> [mm]\frac{1}{4pi}[/mm] * ( [mm]\frac{1}{2-n}- \frac{1}{2+n}+ \frac{1}{2-n}- \frac{1}{2+n})[/mm]
>
Das stimmt leider nicht.
> Sehe jetzt spontan aber keine weiter gute Vorgehensweise,
> vllt erweitern jeweils mit 2+n bzw. 2 -n ?
>
> PS: Woher weiss ich, dass das für n ungleich 2 nur gilt,
> erst seit dem n-2 im Nenner der Stammfunktion auftaucht
> oder früher ?
Für n=2 werden die Nenner 0, und das darf nicht sein.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Vllt mach ich beim Einsetzen immer die gleichen Fehler?!
sin (0.5 pi)= 1
sin (-0.5 pi) = -1
Dann bleiben doch jeweils immer nur die Brüche davor also [mm] \frac{1}{2-n} [/mm] und
[mm] \frac{1}{2+n} [/mm] :(
|
|
|
| |
|
Hallo Traumfabrik,
> Vllt mach ich beim Einsetzen immer die gleichen Fehler?!
>
Das weiss ich nicht.
Poste doch die dazugehörigen Rechenschritte.
> sin (0.5 pi)= 1
> sin (-0.5 pi) = -1
>
> Dann bleiben doch jeweils immer nur die Brüche davor also
> [mm]\frac{1}{2-n}[/mm] und
>
> [mm]\frac{1}{2+n}[/mm] :(
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ok, weiss jetzt wo mein Fehler lag. ( hatte die trigonometrischen Terme immer falsch aufgelöst)
Gibt es eine Möglichkeit sin ( sin ( [mm] \frac{pi}{2}*(2-n)) [/mm] zu vereinfachen, im Stile von [mm] (-1)^n [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Hallo Traumfabrik,
> Ok, weiss jetzt wo mein Fehler lag. ( hatte die
> trigonometrischen Terme immer falsch aufgelöst)
>
> Gibt es eine Möglichkeit sin ( sin ( [mm]\frac{pi}{2}*(2-n))[/mm]
> zu vereinfachen, im Stile von [mm](-1)^n[/mm] ?
Multilpliziere die Klammer aus
und wende das entsprechende Additionstheorem an.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ok . sin ( [mm] \frac{pi}{2}*(2-n))= [/mm] sin [mm] (pi-\frac{pi*n}{2})
[/mm]
sin (x-y) = sinx cos y - cosx siny
Angewendet auf oben = sin [mm] (\frac{pi*n}{2})
[/mm]
Jetzt alles einsetzen:
[mm] \frac{1}{4pi}* ((\frac{1}{2-n}*sin (\frac{pi*n}{2}) [/mm] + [mm] (\frac{1}{2+n}*sin (\frac{pi*n}{2})+(\frac{1}{2-n}*sin (\frac{pi*n}{2}) [/mm] + [mm] (\frac{1}{2+n}*sin (\frac{pi*n}{2}))
[/mm]
Stimmt das, bevor ich versuche weiter zu vereinfachen und man es vllt nicht mehr gut nachvollziehen kann ?
|
|
|
| |
|
Hallo Traumfabrik,
> Ok . sin ( [mm]\frac{pi}{2}*(2-n))=[/mm] sin [mm](pi-\frac{pi*n}{2})[/mm]
>
> sin (x-y) = sinx cos y - cosx siny
>
> Angewendet auf oben = sin [mm](\frac{pi*n}{2})[/mm]
> Jetzt alles einsetzen:
> [mm]\frac{1}{4pi}* ((\frac{1}{2-n}*sin (\frac{pi*n}{2})[/mm] +
> [mm](\frac{1}{2+n}*sin (\frac{pi*n}{2})+(\frac{1}{2-n}*sin (\frac{pi*n}{2})[/mm]
> + [mm](\frac{1}{2+n}*sin (\frac{pi*n}{2}))[/mm]
>
> Stimmt das, bevor ich versuche weiter zu vereinfachen und
> man es vllt nicht mehr gut nachvollziehen kann ?
>
Bei den Summanden mit dem Bruch [mm]\bruch{1}{2+n}[/mm]
muß doch [mm]sin(\frac{pi}{2}*(2+n))[/mm] stehen.
Dies ist wieder gemäß den Additionstheoremen zu ersetzen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Versteh deine Umformung leider gar nicht, oder habe ich einen Fehler und das ist die richtige Lösung ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 05.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
