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Hey ihr
ich habe folgende Ungleichung vorliegen, die ich beweisen soll:
[mm] \lim_{n\to\infty}inf \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \le \lim_{n\to\infty}inf \wurzel[n]{a_{n}} \le \lim_{n\to\infty}sup \wurzel[n]{a_{n}} \le \lim_{n\to\infty}sup (\frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm]
vorgegeben: die Folge [mm] \frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] ist beschränkt und [mm] a_{n} [/mm] ist eine Folge positiver reeler Zahlen
mein Ansatz:
ich weiß ja, dass die oben angegeben Folge beschränkt ist. Wegen dem Kriterium des Quetschdillemmas(Sandwich Dilemma) kann ich doch dann eigentlich auch annehmen, dass die Folge [mm] \wurzel[n]{a_{n}} [/mm] beschränkt ist oder?. Bzw ich muss hier zeigen, dass es eine Teilfolge ist, oder? Doch wie mache ich dies, wenn ich nicht mehr als die Ungleichung vorgegeben habe?
Liebe Grüße 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Sa 04.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo rosapanther,
ich habe gerade mal Deinen Frageartikel minimal redigiert, um ihn besser lesbar zu machen.
Dabei habe ich nur einen Backslash vor den [mm] \lim [/mm] gesetzt, damit die Grenzanweisung auch wirklich darunter steht. Für die Schönheit habe ich auch noch den Pfeil eingefügt (statt minus größer), also \to.
Ich glaube aber, dass sich die Aufgabe wie folgt lesen sollte.
Zu zeigen ist:
[mm] \blue{\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \le \liminf_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_{n}} \le \limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_{n}} \le \limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}
[/mm]
vorgegeben: die Folge [mm] $\blue{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}$ [/mm] ist beschränkt.
Richtig?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Sa 04.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo rosapanther,
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> ich habe gerade mal Deinen Frageartikel minimal redigiert,
> um ihn besser lesbar zu machen.
>
> Dabei habe ich nur einen Backslash vor den [mm]\lim[/mm] gesetzt,
> damit die Grenzanweisung auch wirklich darunter steht. Für
> die Schönheit habe ich auch noch den Pfeil eingefügt
> (statt minus größer), also [mm][code]\to[/code].[/mm]
>
> Ich glaube aber, dass sich die Aufgabe wie folgt lesen
> sollte.
>
> Zu zeigen ist:
>
> [mm]\blue{\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \le \liminf_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_{n}} \le \limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_{n}} \le \limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}[/mm]
>
> vorgegeben: die Folge [mm]\blue{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}[/mm] ist
> [color=blue]beschränkt.[/color]
>
> Richtig?
>
> Grüße
> reverend
Hallo rosapanther,
fehlen da nicht noch ein paar gegebene Bedingungen? So eine Wurzel kann man ja nicht immer bilden...
Gruß Abakus
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ja so ists richtig Danke
achso ich weiß auch noch, das [mm] a_{n} [/mm] eine Folge positiver reeler Zahlen ist
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http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium#Das_Wurzelkriterium_ist_sch.C3.A4rfer_als_das_Quotientenkriterium