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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 So 14.11.2004 | | Autor: | Floyd |
Folgendes Problem:
Sei R ein Ring a,b Elemente von R. Dann gilt (ab) Teilmenge von (a)(b). Wenn R kommutativ ist, dann gilt (ab)=(a)(b).
(Wobei R möglicherweise ohne 1)
Wie beweist man das 'schnell'?
wenn R kommutativ mit 1 dann sollte es wie folgt funktionieren
Ra Rb = R(Ra)b = Rab
aber wenn R ohne 1 dann gilt ja:
(a) = {na + ra + as + sum(r(i)*a*s(i),i,1,m) | r(i),s(i),r,s Elemente von R, n Element von den ganzen Zahlen, m Element der natürlichen Zahlen}
und das Produkt von Hauptidealen ist überdies ja auch noch def. als:
I*J={sum(i(k)*j(k),k,1,n) | i(k) elem. von I, j(k) elem. von J}
somit würde dieser Beweis ja ziemlich lange werden!
geht das denn nicht schneller??
mfg Floyd
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Di 16.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Floyd!
Wenn ich mich mal ganz exakt an deine Definitionen halte, dann folgt für ein beliebiges
$n(ab) + r(ab) + (ab)s + [mm] \sum\limits_{i=1}^m [/mm] r(i) (ab)s(i) [mm] \in [/mm] (ab)$:
$n(ab) + r(ab) + (ab)s + [mm] \sum\limits_{i=1}^m [/mm] r(i) (ab)s(i)$
$= [mm] \underbrace{(na)}_{\in (a)} \underbrace{b}_{\in (b)} [/mm] + [mm] \underbrace{(ra)}_{\in (a)} \underbrace{b}_{\in (b)} [/mm] + [mm] \underbrace{a}_{\in (a)}\underbrace{(bs)}_{\in (b)} [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^m \underbrace{(r(i)a)}_{\in (a)} \underbrace{(bs(i))}_{\in (b)}$
[/mm]
[mm] $\in [/mm] (a)(b)$,
oder?
Viele Grüße
Julius
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