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seien f: X -> Y und g: Y - > Z Abbildungen. Man zeige
a) g ° f injektiv => f ist injekitv
b) g ° f surjektiv => g ist surjektiv
c) f,g bijektiv => g ° f bijekitv und es gilt: (f°g)^(-1)=g^(-1)°f^(-1)
so a) habe ich geschafft. wer kann mir bei b und c helfen?
mfg michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 So 17.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
zu b)
sei [m] f(X) [/m] das bild von $X$ unter der abbildung $f$.
nun ist [m] g \circ f [/m] surjektiv, d.h. es gilt [m] g(f(X)) = Z [/m] andererseits gilt trivialerweise [m] g(Y) \subset Z [/m] und [m] f(X) \subset Y [/m]. damit aber auch
[m] Z \supset g(Y) \supset g(f(X)) = Z [/m]
damit muss in der ganzen zeile die gleichheit gelten, also auch insbesondere [m] g(Y) = Z [/m].
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mo 18.10.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Michael,
meinst Du bei der 1c) wirklich $(f ° [mm] g)^{-1}$? [/mm] Ohne weiteres ist $(f ° g)$ nämlich unsinnig, denn $g$ bildet nach Z ab und es ist nicht explizit gesagt, dass Z [mm] $\subset$ [/mm] X ist...
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Michael,
> c) f,g bijektiv => g ° f bijekitv und es gilt:
> (f°g)^(-1)=g^(-1)°f^(-1)
Hier meintest du, wie AT-Colt schon anmerkte, in der Formel
[mm] ($\star$)[/mm] [m](g \circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}[/m].
Aber zuerst zu dem ersten Teil:
Aus $f,g$ bijektiv folgt $(g [mm] \circ [/mm] f)$ bijektiv.
Beweis dazu:
1.) $(g [mm] \circ [/mm] f)$ ist injektiv, denn:
Seien [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] X$ mit $(g [mm] \circ f)(x_1)=(g \circ f)(x_2)$.
[/mm]
Dann folgt:
$(g [mm] \circ f)(x_1)=(g \circ f)(x_2)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $g(f(x_1))=g(f(x_2))$.
[/mm]
Da $g$ insbesondere injektiv ist, folgt aus letzterem:
[mm] $f(x_1)=f(x_2)$.
[/mm]
Nun ist aber auch $f$ insbesondere injektiv, und deswegen folgt [mm] $x_1=x_2$. [/mm] Also ist $(g [mm] \circ [/mm] f)$ injektiv!
2.) $(g [mm] \circ [/mm] f)$ ist surjektiv, denn:
Sei [mm] $z_0 \in [/mm] Z$ beliebig, aber fest. Da $g$ surjektiv ist, existiert ein [mm] $y_0 \in [/mm] Y$ mit
[mm] ($\star_1$) $g(y_0)=z_0$. [/mm]
Weil $f$ surjektiv ist, gibt es ein [mm] $x_0 \in [/mm] X$ mit
[mm] ($\star_2$)[/mm] [m]f(x_0)=y_0[/m].
Es gilt also für das [mm] $x_0 \in [/mm] X$:
[m](g\circ f)(x_0)=g(f(x_0))\stackrel{(\star_2)}{=}g(y_0)\stackrel{(\star_1)}{=}z_0[/m].
Da [mm] $z_0 \in [/mm] Z$ beliebig war, folgt , dass $(g [mm] \circ [/mm] f)$ surjektiv ist!
(Denn wir haben gezeigt: [mm] $\forall z_0 \in [/mm] Z$ [mm] $\exists x_0 \in [/mm] X$: [m](g \circ f)(x_0)=z_0[/m].)
Wegen 1.) und 2.) ist also $(g [mm] \circ [/mm] f)$ bijektiv.
Es bleibt noch, [mm] $(\star)$ [/mm] zu zeigen. Dazu betrachten wir [m]k:=(g \circ f)^{-1}[/m] und [mm] $l:=f^{-1} \circ g^{-1}$. [/mm]
Wegen der Bijektivität von $(g [mm] \circ [/mm] f)$ (siehe oben) und der Bijektivität von $f,g$ sind $k$ und $l$ wohldefiniert.
Wir beachten zunächst:
[m]k:Z \to X[/m] und $l:Z [mm] \to [/mm] X$. D.h. die beiden Funktionen haben die gleichen Definitions- und Zielbereiche!
Wir müssen also nur noch zeigen, dass für alle $z [mm] \in [/mm] Z$ die Gleichung $k(z)=l(z)$ (bzw. [m](g \circ f)^{-1}(z)=(f^{-1}\circ g^{-1})(z)[/m]) erfüllt ist.
Wir zeigen, dass $k(z)=l(z)$ für alle $z [mm] \in [/mm] Z$ gilt:
Angenommen, es gäbe ein [mm] $z_0 \in [/mm] Z$ mit [m]k(z_0)\not=l(z_0)[/m].
Dann folgt:
[m]k(z_0)\not=l(z_0)[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] ($\star_3$) [/mm] $(g [mm] \circ f)^{-1}(z_0)\not=(f^{-1} \circ g^{-1})(z_0)$.
[/mm]
Nun beachte man, dass sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite von [mm] ($\star_3$) [/mm] Elemente der Menge $X$ stehen. Wie bereits gesehen, ist $(g [mm] \circ [/mm] f): X [mm] \to [/mm] Z$ bijektiv. Wir wenden diese Funktion auf beiden Seiten von [mm] ($\star_3$) [/mm] an:
[mm] ($\star_3$) [/mm] $(g [mm] \circ f)^{-1}(z_0)\not=(f^{-1} \circ g^{-1})(z_0)$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(g \circ f)\,\,anwenden}{\Rightarrow}$
[/mm]
[m]\underbrace{(g \circ f)((g \circ f)^{-1}(z_0))}_{=z_0}\not=(g \circ f)((f^{-1} \circ g^{-1})(z_0))[/m]
[m]\Rightarrow[/m]
[mm] $z_0\not=(g \circ f)(f^{-1}(g^{-1}(z_0)))$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $z_0\not=g(\,\,\underbrace{f(f^{-1}(g^{-1}(z_0)))}_{=g^{-1}(z_0)}\,\,)$
[/mm]
[m]\Rightarrow[/m]
[mm] $z_0\not=g(g^{-1}(z_0))$
[/mm]
[m]\stackrel{beachte:\,\,g(g^{-1}(z_0))=z_0}{\Rightarrow}[/m]
[mm] $z_0\not=z_0$.
[/mm]
Widerspruch.
Also gilt für die Funktionen $k$ und $l$:
$k=l$ (weil $k,l: Z [mm] \to [/mm] X$ und $k(z)=l(z)$ für alle $z [mm] \in [/mm] Z$ gilt) und damit folgt die Gleichung [mm] $(\star)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Marcel
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