Teilbarkeitslehre < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Bestimme alle n [mm] \in \IN [/mm] mit teilerzahl(n) = 20 und teilersumme(n) < 2500.
b) Bestimme alle natürlichen Zahlen, in deren kanonische PFZ genau 4 verschiedene Primzahlen vorkommen und die genau 30 natürliche Teiler haben. |
Hallo,
ich bearbeite aktuell die o.g. Aufgaben. Bei a) habe ich aktuell folgende Gedanken gemacht:
Da die Anzahl der Teiler genau 20 sein soll, heißt das, dass folgendes gilt:
20 = teilerzahl(n) = [mm] (m_{1} [/mm] + [mm] 1)*(m_{2} [/mm] + 1) * ... * [mm] (m_{k} [/mm] + 1)
wobei die [mm] m_{i} [/mm] die Exponenten der PFZ von n sind. Die 20 hat genau 6 Teiler. Ich folgere nun daraus, dass n eine Zahl ist, die aus maximal 6 verschiedenen Primfaktoren besteht. Soweit korrekt? Nur kann ich mit der Erkenntnis noch nicht viel anfangen.
Die Teilersumme soll ja auch < 2500 sein. Was ich daraus ableiten soll, ist mir auch noch unklar...
Kann mir jemand vielleicht einen Schubs in die richtige Richtung geben?
Viele Grüße,
mathelernender
|
|
| |
|
> a) Bestimme alle n [mm]\in \IN[/mm] mit teilerzahl(n) = 20 und
> teilersumme(n) < 2500.
> b) Bestimme alle natürlichen Zahlen, in deren kanonische
> PFZ genau 4 verschiedene Primzahlen vorkommen und die genau
> 30 natürliche Teiler haben.
> Hallo,
> ich bearbeite aktuell die o.g. Aufgaben. Bei a) habe ich
> aktuell folgende Gedanken gemacht:
>
> Da die Anzahl der Teiler genau 20 sein soll, heißt das,
> dass folgendes gilt:
> 20 = teilerzahl(n) = [mm](m_{1}[/mm] + [mm]1)*(m_{2}[/mm] + 1) * ... *
> [mm](m_{k}[/mm] + 1)
>
> wobei die [mm]m_{i}[/mm] die Exponenten der PFZ von n sind. Die 20
> hat genau 6 Teiler.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Fangen wir mal an:
20=20*1=(19+1)(0+1) wäre eine Kombination [mm] p^{19} [/mm] mit einer Primzahl p.
Nun ist aber die kleinste Primzahl die 2, aber [mm] 2^{19} [/mm] >2500 kommt nicht in Frage und damit auch alle p>2 nicht. Diese Kombination scheidet somit aus.
20=10*2=(9+1)(1+1) wäre eine Kombination [mm] p_1^{9}*p_2 [/mm] mit zwei verschiedenen Primzahlen.
Die kleinste Möglichkeit dafür wäre [mm] 2^9 [/mm] * 3 = 512*3. Die nächste Möglichkeit, [mm] 2^9*5 [/mm] = 512*5>2500 scheidet schon wieder aus. Für [mm] p_1 [/mm] > 2 ist schon [mm] p_1^9 [/mm] > 2500, es gibt somit nur diese Lösung.
Nun machst du weiter mit 20=5*4 und probierst mit den Primzahlen 2 und 3, 2 und 5, 3 und 5, ...
Dann versuchst du, 20 in 3 Faktoren zu zerlegen:
20 = 5*2*2 ---> [mm] p_1^4 [/mm] * [mm] p_2 [/mm] * [mm] p_3
[/mm]
Und immer schön unter 2500 bleiben...
Ich folgere nun daraus, dass n eine
> Zahl ist, die aus maximal 6 verschiedenen Primfaktoren
> besteht. Soweit korrekt? Nur kann ich mit der Erkenntnis
> noch nicht viel anfangen.
>
> Die Teilersumme soll ja auch < 2500 sein. Was ich daraus
> ableiten soll, ist mir auch noch unklar...
>
> Kann mir jemand vielleicht einen Schubs in die richtige
> Richtung geben?
>
> Viele Grüße,
> mathelernender
|
|
|
| |
|
Alles klar, vielen Dank für den Input.
Soweit ist mir die konstruktive herangehensweise klar. Nach der Zerlegung in 3 Faktoren und deren Kombinationen bin ich ja damit durch. Die PFZ von 20 ist 2*2*5, d.h. mehr als 3 Faktoren bekommt man nicht hin, richtig?
So dann zu den Zerlegungen selber, insbesondere zu der mit 3 Faktoren:
Da treten sehr viele Kombinationen auf. Wenn man es durchgeht startet man mit:
[mm] 2^{4} [/mm] * 3 * 5
[mm] 2^{4} [/mm] * 3 * 7
[mm] 2^{4} [/mm] * 3 * 11
... bis:
[mm] 2^{4} [/mm] * 3 * 47 = 2256 (wobei es unwahrscheinlich ist, das die Teilersumme < 2500 bleibt).
Dann macht man weiter mit:
[mm] 2^{4} [/mm] * 5 * 7
[mm] 2^{4} [/mm] * 5 * 11
... bis:
[mm] 2^{4} [/mm] * 5 * 31 = 2480 (wobei es unwahrscheinlich ist, das die Teilersumme < 2500 bleibt).
Das ganze Spielchen macht man bis zur Kombination:
[mm] 2^{4} [/mm] * 11 * 13
Jetzt ginge es ja weiter mit:
[mm] 3^{4} [/mm] * 2 * 5
...
Kann man das nicht etwas einfacher oder systematischer hinbekommen? Oder mache ich was falsch?
und zur Aufgabe b):
Gibt es da überhaupt eine Lösung zu? Ich kann die 30 gar nicht als Produkt mit 4 Faktoren schreiben: 2*3*5 = 30, aber einen 4. Faktor bekomme ich da nicht rein, ausser der 1. Also 1 * 2* *3 * 5 = 30.
|
|
|
| |
|
> Alles klar, vielen Dank für den Input.
>
Hallo,
> Soweit ist mir die konstruktive herangehensweise klar. Nach
> der Zerlegung in 3 Faktoren und deren Kombinationen bin ich
> ja damit durch. Die PFZ von 20 ist 2*2*5, d.h. mehr als 3
> Faktoren bekommt man nicht hin, richtig?
ja
>
> So dann zu den Zerlegungen selber, insbesondere zu der mit
> 3 Faktoren:
>
> Da treten sehr viele Kombinationen auf. Wenn man es
> durchgeht startet man mit:
> [mm]2^{4}[/mm] * 3 * 5
> [mm]2^{4}[/mm] * 3 * 7
> [mm]2^{4}[/mm] * 3 * 11
> ... bis:
> [mm]2^{4}[/mm] * 3 * 47 = 2256 (wobei es unwahrscheinlich ist, das
> die Teilersumme < 2500 bleibt).
>
> Dann macht man weiter mit:
> [mm]2^{4}[/mm] * 5 * 7
> [mm]2^{4}[/mm] * 5 * 11
> ... bis:
> [mm]2^{4}[/mm] * 5 * 31 = 2480 (wobei es unwahrscheinlich ist, das
> die Teilersumme < 2500 bleibt).
>
> Das ganze Spielchen macht man bis zur Kombination:
> [mm]2^{4}[/mm] * 11 * 13
Die Bedingung an die Teilersumme (die sich ja auch durch eine relativ einfache Formel berechnen lässt) schränkt die Zahl der Lösungen schon ziemlich ein.
Für Zahlen der Form [mm]2^{4}*p*q[/mm] ist sie nur erfüllt, wenn [mm](p+1)*(q+1)\le 80[/mm].
>
> Jetzt ginge es ja weiter mit:
> [mm]3^{4}[/mm] * 2 * 5
Und das ist auch schon die einzige Lösung der Form [mm]p^4*q*r[/mm] mit p>2.
>
> ...
>
> Kann man das nicht etwas einfacher oder systematischer
> hinbekommen? Oder mache ich was falsch?
Ich sehe keinen einfacheren Weg, systematisch ist das schon so.
>
>
> und zur Aufgabe b):
> Gibt es da überhaupt eine Lösung zu? Ich kann die 30 gar
> nicht als Produkt mit 4 Faktoren schreiben: 2*3*5 = 30,
> aber einen 4. Faktor bekomme ich da nicht rein, ausser der
> 1. Also 1 * 2* *3 * 5 = 30.
Sehe ich auch so. Und damit gibt es zu Aufgabenteil b) eine einfache Antwort.
|
|
|
|
