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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Abzählbarkeit
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Abzählbarkeit: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Mi 03.11.2004
Autor: Berndte2002

Beweise:  [mm] \IN^{\IN} [/mm] ist nicht abzählbar.

Hier hab ich irgendwie keinen blassen schimmer wie ich da rangehen soll. Wäre dankbar über jeden Ansatz!
Danke
mfg
Berndte

        
Bezug
Abzählbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Mi 03.11.2004
Autor: Hanno

Hallo Berndte!

Was ist denn [mm] $\IN ^{\IN}$? [/mm] Meinst du vielleicht [mm] $\IN^{|\IN|}$, [/mm] oder wie ist diese Potenz definiert?

Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
                
Bezug
Abzählbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Mi 03.11.2004
Autor: Berndte2002

Es sollen wohl beide [mm] \IN [/mm] die Menge der natürlichen Zahlen darstellen.
Ich hoffe das hilft irgendwie beim Beantworten der Frage....
Danke

Bezug
                        
Bezug
Abzählbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:54 Mi 03.11.2004
Autor: Hanno

Hallo Berndte!

Nein, ich frage mich, wie denn die Potenz einer Menge mit einer Menge definiert ist. Kannst du mir da auf die Sprünge helfen?

Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
                                
Bezug
Abzählbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 Mi 03.11.2004
Autor: Berndte2002

Es ist die Menge alle Funktionen von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN! [/mm]

Bezug
        
Bezug
Abzählbarkeit: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Mi 03.11.2004
Autor: Gnometech

Hallo!

Also, das geht genauso wie das Cantor-Argument, dass [mm] $\IR$ [/mm] überabzählbar ist... mit Widerspruch.

Denn falls [mm] $\IN^\IN [/mm] = [mm] \{ f: \IN \to \IN \}$ [/mm] abzählbar wäre, dann könnten wir diese Abbildungen alle übersichtlich hinschreiben: [mm] $(f_1, f_2, f_3, f_4, [/mm] ...)$ denn das ist ja eine Abzählung.

Jetzt mußt Du Dir eine Funktion $g [mm] \in \IN^\IN$ [/mm] konstruieren, die in der Abzählung nicht vorkommt...

Vielleicht so: $g(n) := [mm] f_n(n) [/mm] + 1$

Kannst Du zeigen, dass $g$ nicht bei der Aufzählung dabei ist? Und ist Dir dann klar, warum die Menge nicht abzählbar sein kann...?

Lars

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Abzählbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Mi 03.11.2004
Autor: Berndte2002

Und wie zeige ich nun, dass G nicht in der AUfzählung enthalten ist?
Warum die Menge dann nicht abzählbar sein kann, ist mir klar, denn dann gibt es keine surjektive Abbildung!
Danke

Bezug
                        
Bezug
Abzählbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:12 Do 04.11.2004
Autor: Marc

Hallo Berndte2002,

> Und wie zeige ich nun, dass G nicht in der AUfzählung
> enthalten ist?

Wie Lars schon sagte, durch einen Widerspruchsbeweis.

Nimm an, dass das so definierte g in der Aufzählung [mm] $\{f_1,f_2,f_3,\ldots\}$ [/mm] vorkommt.
Dann gibt es doch einen Index m, so dass [mm] $f_m\equiv [/mm] g$.

Nun müßte der Widerspruch durch Ausnutzung der Definition von g sofort folgen... kommst du drauf? :-)

>  Warum die Menge dann nicht abzählbar sein kann, ist mir
> klar, denn dann gibt es keine surjektive Abbildung!

[ok], du meinst, es gibt dann keine surjektive Abbildung [mm] $\IN\mapsto\IN^{\IN}$. [/mm]

Viele Grüße,
Marc

Bezug
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